Меню

Формула выплат по кредиту егэ

Финансовая математика. Задачи на кредиты

Необходимая теория при решении задач на проценты и финансовой математики:

Дифференцированный платеж – долг по кредиту гасится равномерно, каждый год (месяц, неделю) долг (его называют телом кредита, те деньги, которые выдал вам банк, без учета процентов) уменьшается на одну и ту же величину, но так как проценты начисляются в конце каждого года на фактический остаток, то следующие платежи меньше, чем предыдущие. То есть, каждый ваш платеж состоит из процентов, начисленных за прошедший год (месяц, неделю) и из части тела кредита. Давайте разбираться.

Другими словами, пусть \(_<0>\) рублей – сумма, которую вы взяли в кредит под \(q\)% на \(N\) лет. Тогда, по этой схеме, каждый год долг должен уменьшаться равномерно на одну и ту же величину – значит, каждый следующий год долг должен быть меньше на величину \(\frac<_<0>>\) – равномерно раскидали долг на (\N\) лет.

Все правильно, долг в конце \(N-го\) года должен быть равен 0. Ведь мы все должны будем выплатить.

Теперь посчитаем выплаты, которые нужно вносить ежегодно:

То есть каждый год вы должны вносить одинаковую часть долга — \(\frac<_<0>>\) рублей плюс проценты, которые набежали за этот год на остаток: \(\frac<100>*_\), где \(_\)- оставшаяся сумма на конец текущего года. Проценты у нас начисляются только на сумму оставшегося долга с прошлого платежа. Выпишем в ряд проценты (переплату), которые вы будете платить каждый год:

Для того, чтобы получить полную переплату по кредиту, нужно сложить все проценты, которые вы платили каждый год. Для этого нужно знать формулу суммы членов арифметической прогрессии.

В скобках получилась арифметическая прогрессия с 1-м членом \(1=\frac\) и последним (N-м) членом \(\frac<1>\). Найдя сумму арифметической прогрессии, можно получить формулы для расчета переплаты по кредиту \((П)\) и полной величины выплат \((В)\), которая включает в себя еще саму сумму кредита:

Аннуитет – как уже было сказано, это оплата кредита равными платежами.

Поясним на примере в общем виде. Пусть \(_<0>\) – сумма кредита, \(a\) – ежегодный постоянный платеж; \(q\) – годовые проценты по кредиту. Каждый год сначала начисляется процент \(q\), а потом вносится платеж \(a.\) Через год сумма задолженности поле начисления процентов будет:

После этого происходит оплата, и сумма на счете станет:

Через 2 года сумма после начисления процентов и ежегодной выплаты (обозначим \(b=1+\frac<100>\)): $$ _<2>=_<1>*b-a=(_ <0>b-a)b-a=_ <0>b^2-(1+b)a;$$

Иногда в задачах сказано, что кредит гасится, например, тремя платежами, а это значит, что \(_<3>=0\).

Проведя аналогичные рассуждения для \(N\) лет, можно вывести следующие формулы:

Источник статьи: http://sigma-center.ru/financial_mathematics_theory

Формула выплат по кредиту егэ

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Пусть начальная сумма кредита равна S, тогда переплата за первый месяц равна По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной S/14, и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной

Читайте также:  Единовременные денежные выплаты по материнскому капиталу

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:

По условию общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

В условиях нашей задачи получаем: откуда для n = 14 находим r = 2.

Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 14 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 8 млн.

Обозначим через размер кредита. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает по млн. Всего за три года.

Рассмотрим погашение кредита за следующие два года. В середине 4-го года долг возрастёт до млн. Обозначим через размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце 4-го года долг равен , а в середине 5-го года он равен В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, т.е. последняя выплата равна и по условию равна Значит,

, , ,

и общий размер выплат равен По условию

При это неравенство верно, а при оно неверно, как и при больших

Ответ: 5 млн руб.

Аналоги к заданию № 514029: 514048 Все

Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?

Ясно, что чем больше годовые выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты составляют 330 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг после начисления процентов, а во втором — долг после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.

Годы Долг до выплаты

(тыс. руб)

Долг после выплаты

(тыс. руб)

1 1540 1210
2 1331 1001
3 1101,1 771,1
4 848,21 518,21
5 570,031 240,031
6 264,0341

Заметим, что в последний год выплата составит менее 330 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 лет.

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Пусть сумма кредита равна По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшиться до нуля равномерно:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на Пусть тогда последовательность размеров долга на 1-ое число каждого месяца такова:

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить

Общая сумма выплат на больше суммы, взятой в кредит, поэтому

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Пусть сумма кредита равна S. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшиться до нуля равномерно:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на r%. Пусть тогда последовательность размеров долга на 1-ое число каждого месяца такова:

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить

Общая сумма выплат на 20% больше суммы, взятой в кредит, поэтому

Слишком запутанное решение. Зачем вводить дополнительную величину k?

Сумма долга S уменьшается ежемесячно на 1/39 его часть. Чтобы так произошло проценты должны выплачиваться следующим образом: 39/39Sr, 38/39Sr. 1/39Sr.

Общая сумма выплат по процентам:

(39+38+37+. +1)/39Sr=0.2S (20%)

Решаем простое линейное уравнение с арифметической прогрессией, получаем r=0.01 (1%)

Банк предоставляет кредит сроком на 10 лет под 19% годовых на следующих условиях: ежегодно заёмщик возвращает банку 19% от непогашенной части кредита и суммы кредита. Так, в первый год, заёмщик выплачивает суммы кредита и 19% от всей суммы кредита, во второй год заёмщик выплачивает суммы кредита и 19% от суммы кредита и т. д. Во сколько раз сумма, которую выплатит банку заёмщик, будет больше суммы кредита, если заёмщик не воспользуется досрочным погашением кредита?

Пусть сумма кредита будет равна 10S. В соответствии с условием задачи заполним таблицу.

Таким образом, сумма выплат B равна

а искомая величина равна

Значит, если заёмщик не воспользуется досрочным погашением кредита, то сумма, которую выплатит банку заёмщик, будет больше суммы кредита в 2,045 раза.

Приведем другое решение.

Пусть заемщик получил кредит в размере S ед. под 19% годовых. Тогда выплаты будут состоять из фиксированной суммы и 19% от непогашенной части кредита. Поэтому заемщик выплатит банку

Значит, сумма, которую выплатит банку заемщик, будет больше суммы кредита в 2,045 раза.

1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Ясно, что чем больше месячные выплаты, тем быстрее будет выплачен долг. Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты составляют 220 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты. Для упрощения расчётов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.

Месяц Долг на первое число
месяца (тыс. руб)
Долг после выплаты за
предыдущий месяц (тыс. руб)
1 1100
2 1122 902
3 920,04 700,04
4 714,04 494,04
5 503,92 283,92
6 289,60 69,60
7 70,99

При указанной схеме платежей равно через 6 месяцев после взятия кредита в первый день седьмого месяца можно полностью рассчитаться с банком.

В 3 шаге должно же быть 714,0408, или попросту сокращение?

Да, Вы правы, в решении все числа округлены до двух знаков после запятой. В итоговой сумме это дает погрешность примерно в 2 рубля 5 копеек, это не влияет на ответ, но существенно упрощает вычисления.

Почему не учтен самый первый месяц , январь, в который оплата не требуеться,?вопрос же на сколько месяцев кредит, а не количество платежей.

Учтен. 1 платеж в конце 1-го месяца. Последний в конце 6-го.

В июле планируется взять кредит на сумму 2 320 500 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придётся отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Пусть сумма кредита составляет S = 2 320 500 рублей, ежегодные выплаты в случае погашения кредита за 4 года составляют x рублей, а в случае погашения кредита за 2 года — y рублей. По условию долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

откуда рублей.

В этом случае придётся отдать 2 928 200 рублей.

Если отдавать кредит двумя равными платежами, то долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

откуда рублей.

В этом случае придётся отдать 2 674 100 рублей, то есть на 254 100 рублей меньше, чем в предыдущем случае.

Ответ: 254 100 рублей.

Аналоги к заданию № 519813: 519832 Все

31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Пусть — сумма кредита. Обозначим ежегодные платежи и соответственно. Сумма долга каждый год увеличивается на то есть сумма долга умножается на коэффициент После первой выплаты сумма долга станет равной после второй выплаты: после третье выплаты: после четвёртой выплаты: Причём долг будет погашен полностью, получаем, то есть Аналогично получаем уравнение для случая, когда выплаты совершаются платежами размером Имеем систему уравнений:

Подставим выражение для в первое уравнение: Преобразуем это уравнение:

Подставляя числовые значения получаем:

Отрицательные корни не подходят по условию задачи, значит, откуда то есть Никита взял деньги в банке под 20%.

Источник статьи: http://ege.sdamgia.ru/search?keywords=1&cb=1&search=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8%20%D0%BE%20%D0%BA%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%85